Materi Kuliah Analisis Dimensional

Analisis Dimensional

Dimensi seringkali digunakan untuk menentukan atau menguji hubungan suatu parameter fisik dengan parameter-parameter lainnya.  Agar lebih memahami bagaimana analisis dimensional dilakukan, akan diberikan beberapa contoh penerapannya.

Contoh Soal 1‑1:

Persamaan untuk menentukan periode osilasi bandul sederhana akan dilakukan dengan analisis dimensional.

Jawab:

Sebagai awal memerlukan suatu anggapan yang masuk akal tentang parameter yang memperngaruhi periode osilasi bandul.

Asumsi: osilasi bandul dipengaruhi oleh panjang tali bandul, l, percepatan gravitasi, g, dan massa bandul, m.  Anggapan ini bisa ditulis dengan cara matematika

P = f(l,g,m) ,                                                                                                    Pers. 1‑1

dimana f merupakan fungsi yang belum diketahui.

Langkah berikutnya adalah fungsi diatas (Pers. 1‑1) dianggap dapt dinyatakan dalam bentuk pangkat perubah bebas (indepentdent variables).  Disamping itu Pers. 1‑1 dikalikan dengan suatu konstanta.  Persamaan yang baru menjadi:

P = k. l^a g^b m^g ,                                                                                                Pers. 1‑2

dimana a, b, dan g merupakan perubah bebas dan k adalah konstanta.

Langkah selanjutnya menyamakan dimensi suku kiri dan suku kanan dari Pers. 1‑2.  Periode osilasi sudah diketahui yaitu dalam detik (second) dengan dimensi T.

T = L^a [LT^-2]^b M^g                                                                                             Pers. 1‑3

atau

M⁰ L⁰ T¹ = L^a L^b T^-2b M^g                                                                                 Pers. 1‑4

Dengan prinsip homogenitas dimensi, persamaan ini pangkatnya harus disamakan

a + b = 0 ,                                                                                                       Pers. 1‑5

-2b = 1 , dan                                                                                                   Pers. 1‑6

g = 0                                                                                                                Pers. 1‑7

Dari hubungan ketiga persamaan diatas, maka dapat disimpulkan bahwa

b = -½ dan a = ½.

Hasilnya kemudian dimasukkan kedalam Pers. 1‑2 menjadi persamaan untuk menhitung perioda osilasi bandul.

                                                                                  Pers. 1‑8

Dari contoh ini bisa memberikan gambaran bahwa analisis dimensional sangatlah penting untuk menemukan hubungan antara parameter-parameter yang mempengaruhi suatu besaran fisik.

Contoh Soal 1‑2:

Apabila aliran fluida melalui suatu silinder yang sumbunya tegak lurus terhadap arah aliran, maka akan terjadi pusaran fluida dibelakang silinder yang disebut pusaran Eddy yang frekuensinya tergantung beberapa faktor yaitu ukuran silinder (d), kecepatan aliran (v), masa jenis fluida (r) dan viskositas fluida m.  Diminta untuk mendefinisikan persamaan untuk menghirung frekuensi pusaran Eddy.

Jawab:

Frekuensi pusaran Eddy merupakan fungsi d, v, r dan m,

n = f(d,v,r,m) ,                                                                                               Pers. 1‑9

kemudian dituliskan dalam bentuk umum:

n = k d^a v^b r^g m^d .                                                                                            Pers. 1‑10

Dari persamaan ini baru dilakukan analisis dimensional

T^-1 = L^a [LT^-1]^b [ML^-3]^g [L²T^-1]^d, atau                                                  Pers. 1‑11

M⁰ L⁰ T^-1 = L^a L^b T^-b M^g L^-3g L^2d T^-d                                                                Pers. 1‑12

M⁰ L⁰ T^-1 = L^a+b-3g+2d T^-d-b M^g                                                                           Pers. 1‑13

Dimensi suku sebelah kiri dan sebelah kanan harus sama

Massa M          0 = g                                                                                        Pers. 1‑14

Panjang L        0 = a+b-3g+2d                                                                        Pers. 1‑15

Waktu T          -1 = -d -b                                                                                 Pers. 1‑16

Disini ada tiga persamaan dengan empat variabel yang tidak diketahui, oleh karena itu ada salah satu variabel yang tidak bisa diketahui, dipilh d.  Dengan demikian variable lainnya masih dinyatakan dalam d.

g = 0

b = 1 - d

a = -1 - d

Selanjutnya dimasukkan ke Pers. 1‑10 menjadi:

n = k d^(-1-d) v^(1-d) r⁰ m^d .                                                                                    Pers. 1‑17

Akhirnya persamaan ini bisa disusun kembali

Contoh Soal 1‑2:

Apabila aliran fluida melalui suatu silinder yang sumbunya tegak lurus terhadap arah aliran, maka akan terjadi pusaran fluida dibelakang silinder yang disebut pusaran Eddy yang frekuensinya tergantung beberapa faktor yaitu ukuran silinder (d), kecepatan aliran (v), masa jenis fluida (r) dan viskositas fluida m.  Diminta untuk mendefinisikan persamaan untuk menghirung frekuensi pusaran Eddy.

Jawab:

Frekuensi pusaran Eddy merupakan fungsi d, v, r dan m,

n = f(d,v,r,m) ,                                                                                               Pers. 1‑9

kemudian dituliskan dalam bentuk umum:

n = k d^a v^b r^g m^d .                                                                                            Pers. 1‑10

Dari persamaan ini baru dilakukan analisis dimensional

T^-1 = L^a [LT^-1]^b [ML^-3]^g [L²T^-1]^d, atau                                                  Pers. 1‑11

M⁰ L⁰ T^-1 = L^a L^b T^-b M^g L^-3g L^2d T^-d                                                                Pers. 1‑12

M⁰ L⁰ T^-1 = L^a+b-3g+2d T^-d-b M^g                                                                           Pers. 1‑13

Dimensi suku sebelah kiri dan sebelah kanan harus sama

Massa M          0 = g                                                                                        Pers. 1‑14

Panjang L        0 = a+b-3g+2d                                                                        Pers. 1‑15

Waktu T          -1 = -d -b                                                                                 Pers. 1‑16

Disini ada tiga persamaan dengan empat variabel yang tidak diketahui, oleh karena itu ada salah satu variabel yang tidak bisa diketahui, dipilh d.  Dengan demikian variable lainnya masih dinyatakan dalam d.

g = 0

b = 1 - d

a = -1 - d

Selanjutnya dimasukkan ke Pers. 1‑10 menjadi:

n = k d^(-1-d) v^(1-d) r⁰ m^d .                                                                                    Pers. 1‑17

Akhirnya persamaan ini bisa disusun kembali

,                                                                                             Pers. 1‑18

atau bisa juga ditulis

,                                                                                                  Pers. 1‑19

dimana g merupakan fungsi pengganti k dan indeks d yang masih belum diketahui.

1.1. Daftar Acuan

1. Houghton,E.L.; Carruthers,N.B., Aerodynamics for Engineering Students, Edward Arnold A division of Hodder & Stoughton, Third Edition, 1982.

2. Clancy,L.J., Aerodynamics, Pitman Publishing Limited, 1978.